Poligono funicolare e teorema dei seni

Poligono Funicolare

Dato un sistema di forze F1, F2,..., Fn agenti su un piano, scelta una scala opportuna si disegnano i segmenti 01, 12, ... proporzionali e paralleli a dette forze, uno di seguito all'altro. Il segmento 0n è proporzionale e parallelo alla risultante FR, che risulta determinata in intensità e direzione. La poligonale 012...n è detta poligono delle forze. Per determinare la retta d'azione di FR, scelto un generico punto P del piano (posto a destra del poligono delle forze), si tracciano le congiungenti P con i punti 0, 1, 2,..., n del poligono delle forze. Da un punto A arbitrario si traccia la parallela al segmento 0P, la quale intersecherà la retta d'azione di F1 nel punto 1'. Da 1' si traccia la parallela ad 1P, che intersecherà la retta d'azione di F2 nel punto 2', e così via. Prolungando la prima e l'ultima parallela tracciate (quelle passanti per A e B) se ne determina l'intersezione: per il punto così individuato passa la retta d'azione di FR. La ricerca del punto si applicazione della risultante R deve tener conto che una forza può essere sempre translata lungo la propria retta d'azione.

Teorema dei seni

scoposizione analitica di una forza R in due forze concorrenti nel suo punto di applicazione. In questo caso è necessario conoscere non solo l'intensità della forza R, ma anche il valore degli angoli α e β compresi fra le due rette d'azione delle forze componenti cercate e quella della forza R data.
in un triangolo il valore dell'angolo γ = 180 - (α + β). Applicando il teorema dei seni:
F1 / sen β = F₂ / senα = R / sen γ
A uno dei due triangoli individuati dalla diagonale R nel parallelogramma, da questa formula si ricavano le forze componenti richieste:
F₁ = R * sen β / sen γ
e
F₂ = R * sen α / sen γ

Scomposizione analitica di una forza R in due forze componenti di cui una è nota e quindi si conosce anche l'angolo compreso tra le due forze date. Il calcolo dell'intensità F2 della copmponente incognita si esegue applicando il teorema di Carnot:
F₂ = √(F₁² + R² - 2 F₁ * R cosα)
per conoscere la direzione della forza F2 si calcola infine l'angolo β mediante il teorema dei seni:
F₁ / sen β = F₂ / senα → senβ = F₁ * senα / F₂ → β

Esercizio primo

Determinare l'intensità delle due componti F₁, F₂ concorrenti nel punto O di applicazione della forza
F = 450 N, situate da parti opposte con la direzione di F rispettivamente gli angoli α₁ = 30° e α₂ = 45°.

Mediante il teorema dei seni applicato sul triangolo calcoliamo le due componenti richieste:
F₂ : senα₁ = F : sen [п - (α₁ +α₂)] → F₂ : senα₁ = F : sen(α₁ +α₂)
da cui:
F₂ = F * senα₁ / sen(α₁ +α₂) = 450 * sen30° / sen 75° = 232,9 N

F₁ : senα₂ = F : sen(α₁ +α₂)
da cui:
F₁ = F * senα₂ / sen(α₁ +α₂) = 450 * sen45° / sen 75° = 329,4 N

Esercizio secondo

Una forza risultante di intensità R = 550 N ha una componente F₁= 400 N che forma con essa un angolo
α = 60°. Calcolare l'intensità dell'altra componente e l'angolo compreso tra quest'ultima e la risultante R data.

Calcoliamo la componente F₂ applicando il teorema di Carnot nel triangolo contente l'angolo α:
F₂ = √(400² + 550² - 2 * 400 * 550 cos60°) = 492,4 N
L'angolo β si trova mediante il teorema dei seni applicanto all'altro triangolo:
F₂ : senα = F₁ : senβ → senβ = F₁ * senα / F₂ = 400 * sen60° / 492,4 = 0,704 → β = 44° 42' 34''

Edited by vector - 10/12/2010, 17:39